Introduccion a la Cristalografíay a los Sistemas Cristalinos  por Mike y Darcy Howard

Introducción a la Cristalografía y Sistemas Cristalinos
Escrito por Mike Howard - Ilustrado por Darcy Howard

(Traducción al español :Juan José Palafox Reyes; colaborador Porfirio Sosa.Universidad de Sonora, México)

Parte 6: Sistema Hexagonal

Ahora, se analizará el único sistema cristalino que posee 4 ejes cristalográficos. Encontramos que los índices de Miller realmente deben ser los índices de Bravais, pero comúnmente quizá por falta de costumbre, todavía se les llama índices de Miller. Como hay 4 ejes, hay 4 letras o números en la notación.


Las formas del Sistema Hexagonal están definidas por las relaciones de la cruz axial. Los ejes hexagonales ( fig. 6.1) consisten en 4 ejes, 3 de la misma longitud y en el mismo plano, los cuales fueron propuestos por Bravais. Estos 3 ejes, denominados a1 , a2, y a3 tienen una relación angular de 120 grados (entre los extremos positivos). En ángulo recto {ángulo normal según las matemáticas) se encuentra el eje c cuya longitud puede variar.

Es importante a su vez, notar la orientación de los 4 ejes y sus extremos positivo y negativo. Si se observa verticalmente (desde la parte superior del eje  c), los ejes dividen un círculo en 6 partes del igual y la notación axial se lee (iniciando con un +) como +,-,+,-,+, -. Los extremos se alternan positivo y negativo. Nombrando los índices de cualquier cara, con cuatro números (símbolos de Bravais) debe darse. En la notación de simetría de Hermann - Mauguin, el primer número se refiere al eje principal de simetría que es coincidente con c en este caso. El segundo y tercero símbolo, si se presentan, se refieren a los elementos de simetría paralelos  y normal a  los ejes cristalográficos a1, a2 y a3, respectivamente.

Basado en cuanto a su simetría, se dice que el Sistema Hexagonal presenta dos divisiones fundamentales. Existen siete posibles clases, todos los que contienen ejes de simetría senaria, en la división Hexagonal y cinco posibles clases, todos  los que contienen ejes ternarios, en la división  Trigonal. El símbolo general usado para cualquier forma en el Sistema Hexagonal es {hk -il}. La relación angular de las tres ejes horizontales (a1, el a2, y a3)  muestran que la suma algebraica de los índices h, k, i, es igual a 0.

 

División Hexagonal 

Ahora, se estudiará la primera clase de la división Hexagonal. La Normal o la clase Dipiramidal dihexagonal tiene un eje de simetría senario que coincide con el eje cristalogr
áfico c o eje vertical. También tiene 6 ejes binarios horizontales, 3 que corresponden a los 3 tres ejes cristalográficos horizontales y 3 que bisectan a los ángulos entre los ejes. La notación de Hermann - Mauguin es 6/m2/m2/m.

Para comprobar lo anterior, es necesario el uso de la figura 6.2a y 6.2b qué muestra los elementos de simetría de esta clase, asociado con los ejes y  planos de simetría.

6.2a & 6.2b symmetry elements
Elementos de simetría rotacionales Planos de Simetría

Hay 7 formas posibles que pueden presentarse en la clase Dipiramidal Dihexagonal:

Forma Numero de caras  Índices de Miller  Forma
1. Base o pinacoide basal  2 (0001) abierta
2. Prisma de primer orden 6 (10-10) abierta
3. Prisma de segundo orden 6 (11-20) abierta
4. Prisma dihexagonal 12 (hk-i0) ejemplo: (21-30) abierta
5.Pirámide de primer orden 12 (h0-hl) ejemplo: (10-11), (20-21) cerrada
6. Pirámide de segundo orden 12 (hh2hl) ejemplo: (11-22) cerrada
7. Dipiramidal dihexagonal  24 (hk-il) ejemplo: (21-31) cerrada

Ver las figuras 6.3 hasta 6.8 (abajo) para las formas referidas.

 Prisma hexagonal de primer orden y Pinacoide c  Prisma hexagonal de segundo orden y Pinacoide c  Prisma Dihexagonal y Pinacoide c

 Dipirámide hexagonal de primer orden Dipirámide hexagonal de segundo orden  Dipirámide dihexagonal 

Las dos caras de la base, o el pinacoide basale, es normal al eje c y al observador, y generalmente se denota por la letra cursiva c. Sus índices del Miller son (0001) y (000-1).
      

 Los primeros y segundos prismas del orden no pueden distinguirse entre si, cuando cada uno aparece como un prisma hexagonal regular con un ángulo interfacial de 60 grados, pero cuando se observa hacia abajo el eje  c, como en la figura 6.9, las relaciones de las dos formas y los ejes a son rápidamente visualizadas.

Correspondiendo a los 3 tipos de prismas son 3 tipos de pirámides. Se puede notar que en las figuras 6.6 y 6.7 de la página anterior la forma similar, pero se diferencia en la relación angular en los ejes horizontales. La dipirámide dihexagonal es una doble pirámide de 12 lados  (figura 6.8). La primera pirámide del orden se etiqueta la p. La segunda pirámide del orden se etiqueta s. La dipirámide del dihexagonal se etiqueta v.

Estas formas aunque parezcan relativamente simples algunos de ellas se combina en un solo cristal, en este punto, se debe de tener especial atención. Se pueden tener algunas de las mismas formas, incluso a  ángulos diferentes, así las dos pirámides de primer orden pueden denominarse las pirámides del orden p y u, respectivamente.

Vea figura 6.10 de un cristal del berilo que tiene todas estas formas desplegadas. La molibdenita y  la pirrotita también cristalizan en esta clase.

El dipiramidal ditrigonal  {hk - il} tiene un eje senario de rotoinversión  que es escogido como c. Se debe notar que los ejes -6 son equivalentes a un eje -3 de rotación normal a un plano de simetría. Tres ejes de simetría, cortan al eje vertical y son perpendiculares a las 3 ejes cristalográficos horizontales. Existen también 3 ejes binarios horizontales en los planos de simetría verticales, Herman - Mauguin es -6m2.


Esta clase es una forma de doce, seis en la cara superior  y seis caras en la parte inferior del plano de simetría que queda en el a1-a2-a3 plano axial. La figura 6.11a es la dipirámide ditrigonal que se  forma y la figura 6.11b representa un dibujo de benitoita, el único mineral que se ha descrito en esta clase.

La clase Hemimórfica (Piramide dihexagonal). Esta clase difiere de las clases discutidas anteriormente en  que  no tiene ningún plano  horizontal de simetría y ningún eje  horizontal de simetría. No presenta centro de simetría. Por consiguiente, la notación de Hermann - Mauguin es 6mm. La geometría de los prismas presenta el mismo comportamiento. El plano basal es un pedión (recuerde que un pedión difiere de un pinacoide en que es una sola cara) y las pirámides positivas y negativas de los 3 tipos. La diferencia puede notarse rápidamente en un dibujo de la forma de esta clase ( fig. 6.12) cuando se comparó con la figura 6.8 (dos páginas atrás).


Algunos minerales como zincita, wurtzita, y greenockita que son de esta clase (figs. 6.13a, b, & c).

En la clase Trapezoedral Hexagonal, los ejes de simetría están igual que la clase normal (la clase dipirámidal dihexagonal que se discute inicialmente en esta sección), pero los planos de simetría y el centro de simetría no están presentes. La notación de  Hermann - Mauguin es 622. Dos formas enantiomórficas (la imagen  espejo) están presentes, cada uno presenta 12 caras trapezoidales (figura 6.14).

Otras formas, incluso los pinacoides, prismas hexagonales, dipiramides, y prismas  dihexagonales, pueden estar presentes. Se conocen sólo 2 minerales que representan a esta clase cristalina:  cuarzo beta y kalsilita.


La clase Dipiramidal Hexagonal (figura 6.15) tienen sólo un eje vertical senario de rotación y un  plano de simetría perpendicular a el. La notación de Hermann - Mauguin es 6/m. Cuando esta forma se presenta sola, parece poseer la simetría más alta. Sin embargo, en la combinación con otras formas revela su baja simetría.

Las formas generales de esta clase son los dipirámides hexagonales positivas y negativas. Estas formas poseen 12 caras, 6 superiores y 6 inferiores, y corresponden en posición a la mitad de las caras de una dipirámide dihexagonal.

Otras formas presentes puede incluir pinacoides y prismas. Los minerales principales que tienden a  cristalizar en esta clase son los del grupo del apatito.

La Dipirámide trigonal posee un eje senario de roto-inversión , la notación de Hermann - Mauguin de -6. Esto es equivalente de tener un eje 3 y un plano de simetría normal  a él (3/m). Ver figura 6.16. Matemáticamente, esta clase puede existir, pero hasta la fecha no, se conoce ningún mineral que cristalize en esta clase.


En la clase de la Pirámide hexagonal, el eje vertical es un eje 6. Ninguna otra simetría está presente en este sistema. La figura  6.17 es la pirámide hexagonal. Las formas de esta clase son similares a aquéllas de la Dipirámide Hexagonal (anteriormente discutidas), pero porque no se presenta ningún plano de simetría horizontal? a diferencia de esto, están presentes en la parte superior e inferior del cristal. La pirámide hexagonal tiene cuatro ejes senarios  presentes y sus  formas son :superior positivo, superior negativo, inferior positivo, inferior negativo.

Pediones, pirámides hexagonales y prismas pueden estar presentes. Sólo raramente se presentan plenamente desarrolladas. La nefelina es la representante más común de esta clase.

 

División Trigonal 

Hasta ahora se ha trabajado a través de las primeras 7 clases en el Sistema Hexagonal, todos que tienen algún grado de  simetría senaria (6). Ahora, toca mirar la División Trigonal del Sistema Hexagonal. Aquí, se observa que la simetría ternaría (3)  gobierna en esta división. Hay que recordar que los prismas son  formas abiertas. En la división trigonal hay dos juegos distintos de prismas que están involucrados. El primero se llama el prisma  trigonal y consiste en caras de igual tamaño, las cuales son paralelas al eje cristalográfico c y  forma un prisma de 3 lados iguales. Se puede pensar en la División Trigonal como la mitad de las caras del el prisma hexagonal de primer orden.



De hecho, la luz normal refractada 60 grados en un  prisma de vidrio, se  ha usado en muchos talleres de laboratorio de física, de esta manera esta limitada en el extremo por el pinacoide  c. Allí existe un  prisma de segundo orden y que da  la apariencia general  del de primer orden, pero cuando otras formas trigonales están presentes en la terminación de otra manera que el pinacoide c, los dos prismas pueden distinguirse rápidamente, uno del otro. El  prisma de segundo orden se gira 60 grados sobre el eje de c cuando se compara con el prisma de primer orden.

 El segundo prisma es el ditrigonal, y es una forma abierta. Esta forma consiste en 6 caras verticales arregladas en conjuntos de 2 caras.

Por consiguiente los bordes alternos son de diferente  carácter; sobre todo es notable cuando se observa hacia abajo el eje c.

Los diferentes ángulos entre los 3 conjuntos de caras, distinguen esta cara del prisma hexagonal de primer orden.

Las estriaciones en la  parte izquierda de la figura son típicos para los cristales trigonales naturales, como la turmalina. En el dibujo,  en el eje c están los pinacoides  y en m las caras del prisma.

Se cree que estas formas son bastantes simples y no es necesario algún dibujo para explicarlos, pero si se busca en la  figura 6.23 (abajo) las formas de la turmalina. Ellos se dan la anotación del prisma normal de m y a.

La clase escalenoedrica hexagonal. Lo primero en considerar en esas formas es la simetría - 3 2/m en la notación de Hermann - Mauguin. Hay dos formas principales en esta clase: el romboedro y el escalenoedro hexagonal.

En esta clase, los ejes de rotoinversión -3 son coincidentes con el eje vertical (c) y los tres ejes binarios 2  corresponden a las tres ejes horizontales ( a1, a2,y  a3).

La forma general {hk- il} del escalenoedro  hexagonal (figura 6.19), la diferencia primaria en el romboedro  es una forma  romboedral , es decir, hay 3 caras romboedrales anteriores y 3 caras debajo del centro del cristal.

En un escalenoedro, cada una de las  caras del romboedro se convierten en 2 triángulos escalenos dividiendo el romboedro de las esquinas por una línea. Sin embargo, se encuentran 6 caras en la parte superior y 6 en la parte inferior. El escalenoedro que es una forma de 12 caras. Estas formas se ilustran en la figura 6.20.

Con esta forma, usted puede tener ambos, positivo {h0 - hl} y negativo {0h - hl} las formas para el romboedro...

y  formas positiva {hk-il} y negativa {kh-il}  para el escalenoedro.


Las figuras complicadas, el romboedro y escalenoedro, como formas, a menudo se combinan con las formas presentes,  en las clases de simetría hexagonales más complicadas. Así, se pueden encontrarlas en combinación con los prismas hexagonales, dipirámides hexagonales, y formas del pinacoides.

La calcita es la más común, bien cristalizada, y mineral coleccionable en estas formas. Ver la figura 6.21  algunas formas de la cristalización de calcita. Varios minerales, como la chabazita y el corindón, normalmente muestran las combinaciones de la forma.

En los últimos 3 dibujos en la figura 6.21, hay que nombrar las caras  presentes. Ya se han nombrado las primeras 5 figuras.

La próxima clase de cristal a considerar es la Pirámide Ditrigonal. El eje vertical es un eje ternario de rotación(3) y tres planos de simetría que cortan este eje. La notación Hermann -  Mauguin es 3m, 3 que se refieren al eje vertical y m que se refiere a  los tres planos normales a los tres ejes horizontales (el a1,a2,a3). Estos 3 planos de simetría cortan al eje vertical 3.

La forma general {hk-il} es una Pirámide Ditrigonal. Hay 4 formas posibles de pirámides ditrigonales cuyos índices son {hk-il}, {kh-il}, {hk-i-l}, y {kh-i-l}.

Las formas son similares a la forma escalenoedrica hexagonal pero tienen solo la mitad de las caras, observándose la ausencia de ejes binarios de rotación. Como los cristales, tienen formas diferentes en la parte superior en su parte superior así como en su base. La figura 6.22 muestra la pirámide ditrigonal.


La figura 6.23 muestra 2 cristales de turmalina el mineral más común que se cristaliza en esta clase la cual despliega simetría de 3m.

Esta forma puede combinarse con pediones, Prismas hexagonal y Piramides, Pirámides trigonales, Prismas trigonales prismas, y Prismas ditrigonal algunas veces formas interesantes y complicadas.

Se ha  llegado al trapezoedro trigonal. Las 4 direcciones axiales están ocupadas por los ejes de rotación. El eje vertical es un eje ternario (3) y los 3 planos horizontales tienen la simetría de un eje binario(2).
Esto es similar a la clase -32/m (escalenoedro hexagonal), pero los planos de simetría están ausentes. Hay 4 trapezoedros  trigonales, cada uno compuestos de 6 caras trapezoidales. Sus índices de Miller son: {hk - il}, {i-k - hl}, { kh - il}, y {- ki - hl}. Estas formas corresponden a 2 pares enantiomórficos, cada uno con una forma derecha y una forma izquierda (un par ilustra la figura 6.24).

Otras formas que pueden estar presentes incluyen pinacoides, prismas  trigonales, prismas hexagonales, prismas  ditrigonales, y romboedros.

El cuarzo es el mineral más común que cristaliza en esta clase, pero raramente  la cara trapezohedral se forma. Cuando, es una cuestión simple para determinar si el cristal es de forma derecha o izquierda (figura 6.25).
El cinabrio también cristaliza en esta clase.

La clase Romboedrica tiene un eje ternario(-3)  de rotoinversion que es equivalente a un eje ternario(3) y un centro de simetría. La forma general es {hk - il} y la notación Hermann - Mauguin es -3.
Esta forma es engañosa porque a menos que en otras formas est
én presentes, su verdadera simetría no estará clara. El pinacoide {0001} y los prismas hexagonales pueden estar presentes.
Dolomita e ilmenita son  la mayoría de los minerales com
únes que cristalizan en esta clase. Ver la figura 6.26.

 

Ahora, se ha alcanzado a la clase final en el sistema Hexagonal. La Pirámide trigonal tiene uno eje un eje ternario de rotación(3). Ver figura 6.27. Hay, sin embargo, 8 pirámides trigonales cuya forma general es {hk - il, cuatro arriba y cuatro abajo. Cada uno de éstos corresponde a 3 caras de la Dipirámide Dihexagonal (ya se discutió anteriormente). Además de esto, es posible que puede haber pirámides trigonales en la parte superior, independientes, de las pirámides abajo de. Sólo cuando Pirámides trigonales están en combinación entre si es cuando la combinación revela la verdadera simetría.
Aparece sólo un mineral, una especie rara llamada gratonita, que pertenece a esta clase no se ha estudiado suficientemente por los cristal
ógrafos.

 

Todos los cristales en el sistema Hexagonal se orientan por el extremo negativo del eje  a3 (ver la figura 6.1 de nuevo) se considera que es 0 grados para propósitos de ploteo Esto es importante cuando se mira  la distribución de las  formas del romboedro y determinan si ellos son positivos o negativos.
Se sugiere que se lea
la página 88 del Manual de Mineralogía  de J. D. Dana por Klein y Hurlbut (edición 20) si se desea todo a detalle.


 

¡ESTUPENDO! hemos visto al Sistema hexagonal. Yo espero que usted también no sea insensible a cualquier discusión. En ese caso, prepárese a ponerse menos simétrico, incluso cuando comenzamos a trabajar con el sistema monoclínico. 

 


Parte7: sistema Monoclinico

Indice de  Cristalográfia y sistemas Cristalinos 


bkeller@rockhounds.com Copyright 1997-1998 J Michael Howard